Ramène ta science est une chronique proposée par les élèves de l’Ecole des Mines d’Alès.
Dans les années 1930, le mathématicien Kurt Gödel bouleverse les fondements de la logique en démontrant qu’il existera toujours des vérités mathématiques… indémontrables. Une révolution qui remet en cause l’idée même d’un système mathématique parfait.
Quand un paradoxe d’enfant interroge la logique
Tout commence par une question apparemment innocente : « Si Pinocchio dit “je mens”, son nez s’allonge-t-il ? » Ce paradoxe du menteur — une phrase qui se contredit elle-même — inspire Kurt Gödel à formaliser, dans le langage mathématique, un phénomène jusqu’alors réservé à la logique verbale.
Le génie précoce d’un logicien hors norme
Né en 1906, Gödel abandonne la physique pour se consacrer aux mathématiques. À 25 ans, il publie ses deux théorèmes d’incomplétude. Leur impact est immense : il prouve que les ambitions de David Hilbert, qui rêvait d’un système mathématique complet, cohérent et démontrable, sont mathématiquement irréalisables.
Hilbert et l’espoir d’un système infaillible
Hilbert proposait de fonder les mathématiques sur un ensemble fini d’axiomes considérés comme évidents. Il espérait ainsi garantir la cohérence et la complétude de tout raisonnement mathématique par un système purement logique et formel.
Gödel démonte l’édifice : il y aura toujours des zones d’ombre
Gödel prouve que tout système formel suffisamment puissant contient des propositions vraies qu’il est incapable de démontrer. En utilisant une méthode de codage arithmétique, il construit une équation qui dit d’elle-même : « Cette proposition ne peut pas être prouvée. » Si elle était prouvable, elle serait fausse ; elle est donc vraie, mais indémontrable.
Un second théorème aux conséquences vertigineuses
Gödel va plus loin : un système mathématique ne peut pas prouver sa propre cohérence. Ce constat ruine l’idéal d’un fondement inattaquable pour l’ensemble des mathématiques.
Une limite irréductible à la pensée formelle
Les théorèmes de Gödel montrent que certaines vérités échappent à toute démonstration formelle. Loin d’un échec, c’est une invitation à reconnaître que même dans le domaine rigoureux des mathématiques, une part d’inconnu résistera toujours à la raison humaine et aux machines.
